拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。在拓?fù)鋵W(xué)里，重要的拓?fù)湫再|(zhì)包括連通性與緊致性。拓?fù)溆⑽拿荰opology，直譯是地志學(xué)，最早指研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。拓?fù)鋵W(xué)是由幾何學(xué)與集合論里發(fā)展出來(lái)的學(xué)科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞匯的來(lái)源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茨，他在17世紀(jì)提出“位置的幾何學(xué)”和“位相分析”的說(shuō)法。萊昂哈德-歐拉的柯尼斯堡七橋問(wèn)題與歐拉示性數(shù)被認(rèn)為是該領(lǐng)域最初的定理。拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。

拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。

補(bǔ)充材料：

一、拓?fù)鋵W(xué)的子領(lǐng)域：

拓?fù)鋵W(xué)的分支學(xué)科包括點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)，具體介紹如下：

1、一般拓?fù)鋵W(xué)建立拓?fù)涞幕A(chǔ)，并研究拓?fù)淇臻g的性質(zhì)，以及與拓?fù)淇臻g相關(guān)的概念。一般拓?fù)鋵W(xué)亦被稱為點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，被用于其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域（如緊致性與連通性等主題）之中。

2、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)運(yùn)用同調(diào)與同倫群等代數(shù)結(jié)構(gòu)量測(cè)連通性的程度。

3、微分拓?fù)鋵W(xué)研究在微分流形上的可微函數(shù)，與微分幾何密切相關(guān)，并一齊組成微分流形的幾何理論。

4、幾何拓?fù)鋵W(xué)主要研究流形與其對(duì)其他流形的嵌入。幾何拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)特別活躍的領(lǐng)域?yàn)椤暗途S拓?fù)鋵W(xué)”，研究四維以下的流形。幾何拓?fù)鋵W(xué)亦包括“紐結(jié)理論”，研究數(shù)學(xué)上的紐結(jié)。

二、拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)科起源：

有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題。后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。譬如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。

拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。二十世紀(jì)以來(lái)，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。

因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。二十世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門(mén)數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來(lái)研究曲線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門(mén)學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。

拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做代數(shù)拓?fù)洹，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。

三、拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)科簡(jiǎn)介：

Topology原意為地貌，起源于希臘語(yǔ)Τοπολογ。形式上講，拓?fù)鋵W(xué)主要研究“拓?fù)淇臻g”在“連續(xù)變換”下保持不變的性質(zhì)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，拓?fù)鋵W(xué)是研究連續(xù)性和連通性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在復(fù)變函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開(kāi)始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。拓?fù)鋵W(xué)研究的是幾何形體在連續(xù)形變，精確地說(shuō)，雙方一一而且雙方連續(xù)的變換（稱為同胚）之下保持不變的性質(zhì)。簡(jiǎn)言之些，拓?fù)鋵W(xué)是研究數(shù)學(xué)中連續(xù)性現(xiàn)象的學(xué)科。最典型拓?fù)鋵W(xué)研究對(duì)象便是DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)。

四、拓?fù)鋵W(xué)的學(xué)科影響：

連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門(mén)類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、實(shí)分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。

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