初中學(xué)習(xí)奧數(shù)不僅能夠提高思維能力，開拓思維空間，并且對(duì)學(xué)理科也有很大的幫助，同時(shí)還能夠提高個(gè)人的邏輯推理能力。因此有很多家長(zhǎng)都會(huì)送自己的孩子去學(xué)習(xí)奧數(shù)，那今天就來(lái)分享初中奧數(shù)題大全，趕緊收藏起來(lái)吧。

初中奧數(shù)試題及答案

一、填空題

1 .已知不等式 3x-a ≤ 0 的正整數(shù)解恰是 1 ， 2 ， 3 ，則 a 的取值范圍是 。

2 .已知關(guān)于 x 的不等式組 無(wú)解，則 a 的取值范圍是 。

3 .不等式組 的整數(shù)解為 。

4 .如果關(guān)于 x 的不等式( a-1 ) x

5 .已知關(guān)于 x 的不等式組 的解集為 ，那么 a 的.取值范圍是 。

二、選擇題

6 .不等式組 的最小整數(shù)解是( )

A . 0 B . 1 C . 2 D . -1

7 .若 -1

A . -a

8 .若方程組 的解滿足條件 ，則 k 的取值范圍是( )

A . B . C . D .

9 .如果關(guān)于 x 的不等式組 的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)對(duì)(m，n)共有( )

A.49對(duì) B.42對(duì) C.36對(duì) D.13對(duì)

10.關(guān)于x的不等式組 只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

三、解答題

1.已知關(guān)于x、y的方程組 的解滿足 ，化簡(jiǎn) 。

2．設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c(diǎn)｜-c=0，求代數(shù)式｜b｜-｜a＋b｜-｜c(diǎn)-b｜＋｜a-c｜的值．

3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范圍．

4．設(shè)(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，試求a0+a2＋a4＋a6的值．

6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

10．x，y，z均是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值與最小值．

11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

12．如圖1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴給奶奶送去．請(qǐng)問(wèn)：小柱應(yīng)該選擇怎樣的路線才能使路程最短？

13．如圖1－89所示．a(chǎn)ob是一條直線，oc，oe分別是∠aod和∠dob的平分線，∠cod=55°．求∠doe的補(bǔ)角．

14．如圖1－90所示．be平分∠abc，∠cbf=∠cfb=55°，∠edf=70°．求證：bc‖ae．

15．如圖1－91所示．在△abc中，ef⊥ab，cd⊥ab，∠cdg=∠bef．求證：∠agd=∠acb．

16．如圖1－92所示．在△abc中，∠b=∠c，bd⊥ac于d．求

17．如圖1－93所示．在△abc中，e為ac的中點(diǎn)，d在bc上，且bd∶dc=1∶2，ad與be交于f．求△bdf與四邊形fdce的面積之比．

18．如圖1－94所示．四邊形abcd兩組對(duì)邊延長(zhǎng)相交于k及l(fā)，對(duì)角線ac‖kl，bd延長(zhǎng)線交kl于f．求證：kf=fl．

19．任意改變某三位數(shù)數(shù)碼順序所得之?dāng)?shù)與原數(shù)之和能否為999？說(shuō)明理由．

20．設(shè)有一張8行、8列的方格紙，隨便把其中32個(gè)方格涂上黑色，剩下的32個(gè)方格涂上白色．下面對(duì)涂了色的方格紙施行“操作”，每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個(gè)方格同時(shí)改變顏色．問(wèn)能否最終得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙？

21．如果正整數(shù)p和p+2都是大于3的素?cái)?shù)，求證：6｜(p＋1)．

22．設(shè)n是滿足下列條件的最小正整數(shù)，它們是75的倍數(shù)，且恰有

23．房間里凳子和椅子若干個(gè)，每個(gè)凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當(dāng)它們?nèi)蝗俗虾?，共?3條腿(包括每個(gè)人的兩條腿)，問(wèn)房間里有幾個(gè)人？

24．求不定方程49x-56y+14z=35的整數(shù)解．

25．男、女各8人跳集體舞． (1)如果男女分站兩列； (2)如果男女分站兩列，不考慮先后次序，只考慮男女如何結(jié)成舞伴． 問(wèn)各有多少種不同情況？

26．由1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，有多少個(gè)大于34152？

27．甲火車長(zhǎng)92米，乙火車長(zhǎng)84米，若相向而行，相遇后經(jīng)過(guò)1.5秒(s)兩車錯(cuò)過(guò)，若同向而行相遇后經(jīng)6秒兩車錯(cuò)過(guò)，求甲乙兩火車的速度．

28．甲乙兩生產(chǎn)小隊(duì)共同種菜，種了4天后，由甲隊(duì)單獨(dú)完成剩下的，又用2天完成．若甲單獨(dú)完成比乙單獨(dú)完成全部任務(wù)快3天．求甲乙單獨(dú)完成各用多少天？

29．一船向相距240海里的某港出發(fā)，到達(dá)目的地前48海里處，速度每小時(shí)減少10海里，到達(dá)后所用的全部時(shí)間與原速度每小時(shí)減少4海里航行全程所用的時(shí)間相等，求原來(lái)的速度．

30．某工廠甲乙兩個(gè)車間，去年計(jì)劃完成稅利750萬(wàn)元，結(jié)果甲車間超額15％完成計(jì)劃，乙車間超額10％完成計(jì)劃，兩車間共同完成稅利845萬(wàn)元，求去年這兩個(gè)車間分別完成稅利多少萬(wàn)元？ 31150元．甲商品降價(jià)10％，乙商品提價(jià)20％，調(diào)價(jià)后甲乙兩種商品的單價(jià)之和比原單價(jià)之和降低了1％，求甲乙兩種商品原單價(jià)各是多少？

32．小紅去年暑假在商店買了2把兒童牙刷和3支牙膏，正好把帶去的錢用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又帶同樣的錢去該商店買同樣的牙刷和牙膏，因?yàn)榻衲甑难浪⒚堪褲q到1.68元，牙膏每支漲價(jià)30％，小紅只好買2把牙刷和2支牙膏，結(jié)果找回4角錢．試問(wèn)去年暑假每把牙刷多少錢？每支牙膏多少錢？

33．某商場(chǎng)如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品，按每件12元賣出，每天可售出400件，據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每件少賣1元，則每天可多賣出200件，問(wèn)每件應(yīng)減價(jià)多少元才可獲得最好的效益？

34．從a鎮(zhèn)到b鎮(zhèn)的距離是28千米，今有甲騎自行車用0．4千米/分鐘的速度，從a鎮(zhèn)出發(fā)駛向b鎮(zhèn)，25分鐘以后，乙騎自行車，用0．6千米/分鐘的速度追甲，試問(wèn)多少分鐘后追上甲？

35．現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60％，含錳40％；第二種含錳10％，含鎳90％；第三種含銅20％，含錳50％，含鎳30％．現(xiàn)各取適當(dāng)重量的這三種合金，組成一塊含鎳45％的新合金，重量為1千克． (1)試用新合金中第一種合金的重量表示第二種合金的重量； (2)求新合金中含第二種合金的重量范圍； (3)求新合金中含錳的重量范圍．

【部分參考答案】

1．因?yàn)椋黙｜=-a，所以a≤0，又因?yàn)椋黙b｜=ab，所以b≤0，因?yàn)椋點(diǎn)｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以 原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．

2．因?yàn)閙＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可變?yōu)閙＋n＞0．當(dāng)x+m≥0時(shí)，｜x+m｜=x＋m；當(dāng)x-n≤0時(shí)，｜x-n｜=n-x．故當(dāng)-m≤x≤n時(shí)， ｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

3．分別令x=1，x=-1，代入已知等式中，得 a0+a2＋a4＋a6=-8128．

10．由已知可解出y和z 因?yàn)閥，z為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以有 u=3x-2y+4z

11. 所以商式為x2-3x+3，余式為2x-4

12．小柱的路線是由三條線段組成的折線(如圖1－97所示)． 我們用“對(duì)稱”的辦法將小柱的這條折線的路線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的一段“連線”(它是線段)．設(shè)甲村關(guān)于北山坡(將山坡看成一條直線)的對(duì)稱點(diǎn)是甲′；乙村關(guān)于南山坡的對(duì)稱點(diǎn)是乙′，連接甲′乙′，設(shè)甲′乙′所連得的線段分別與北山坡和南山坡的交點(diǎn)是a，b，則從甲→a→b→乙的路線的選擇是最好的選擇(即路線最短） 顯然，路線甲→a→b→乙的長(zhǎng)度恰好等于線段甲′乙′的長(zhǎng)度．而從甲村到乙村的其他任何路線，利用上面的對(duì)稱方法，都可以化成一條連接甲′與乙′之間的折線．它們的長(zhǎng)度都大于線段甲′乙′．所以，從甲→a→b→乙的路程最短．

13．如圖1－98所示．因?yàn)閛c，oe分別是∠aod，∠dob的角平分線，又 ∠aod+∠dob=∠aob=180°， 所以 ∠coe=90°． 因?yàn)? ∠cod=55°， 所以∠doe=90°-55°=35°． 因此，∠doe的補(bǔ)角為 180°-35°＝145°．

14．如圖1－99所示．因?yàn)閎e平分∠abc，所以 ∠cbf=∠abf， 又因?yàn)?∠cbf=∠cfb， 所以 ∠abf=∠cfb． 從而 ab‖cd(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)． 由∠cbf=55°及be平分∠abc，所以 ∠abc=2×55°=110°． ① 由上證知ab‖cd，所以 ∠edf=∠a=70°， ② 由①，②知 bc‖ae(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．

15．如圖1-100所示．ef⊥ab，cd⊥ab，所以 ∠efb=∠cdb=90°， 所以ef‖cd(同位角相等，兩直線平行)．所以 ∠bef=∠bcd(兩直線平行，同位角相等)． ①又由已知 ∠cdg=∠bef． ② 由①，② ∠bcd=∠cdg． 所以 bc‖dg(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)． 所以 ∠agd=∠acb(兩直線平行，同位角相等)．

16．在△bcd中， ∠dbc＋∠c=90°(因?yàn)椤蟗dc=90°)，① 又在△abc中，∠b=∠c，所以 ∠a＋∠b＋∠c=∠a＋2∠c=180°， 所以 由①，②

17．如圖1－101，設(shè)dc的中點(diǎn)為g，連接ge．在△adc中，g，e分別是cd，ca的中點(diǎn)．所以，ge‖ad，即在△beg中，df‖ge．從而f是be中點(diǎn)．連結(jié)fg．所以 又 s△efd＝s△bfg-sefdg=4s△bfd-sefdg， 所以 s△efgd=3s△bfd． 設(shè)s△bfd=x，則sefdg=3x．又在△bce中，g是bc邊上的三等分點(diǎn)，所以 s△ceg=s△bcee， 從而 所以 sefdc=3x＋2x＝5x， 所以 s△bfd∶sefdc=1∶5．

18．如圖1－102所示． 由已知ac‖kl，所以s△ack=s△acl，所以 即 kf=fl． ＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！

20．答案是否定的．設(shè)橫行或豎列上包含k個(gè)黑色方格及8-k個(gè)白色方格，其中0≤k≤8．當(dāng)改變方格的顏色時(shí)，得到8-k個(gè)黑色方格及k個(gè)白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的數(shù)目“增加了”(8-k)-k=8-2k個(gè)，即增加了一個(gè)偶數(shù)．于是無(wú)論如何操作，方格紙上黑色方格數(shù)目的奇偶性不變．所以，從原有的32個(gè)黑色方格(偶數(shù)個(gè))，經(jīng)過(guò)操作，最后總是偶數(shù)個(gè)黑色方格，不會(huì)得到恰有一個(gè)黑色方格的方格紙．

21．大于3的質(zhì)數(shù)p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，則p+2=3(2k＋1)不是質(zhì)數(shù)，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．

22．由題設(shè)條件知n=75k=3×52×k．欲使n盡可能地小，可設(shè)n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75． 于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇數(shù)，α，β，γ均為偶數(shù)．故取γ=2．這時(shí) (α+1)(β+1)=25． 所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20?324?52 23．設(shè)凳子有x只，椅子有y只，由題意得 3x＋4y+2(x+y)＝43， 即 5x+6y＝43． 所以x=5，y=3是唯一的非負(fù)整數(shù)解．從而房間里有8個(gè)人．

24．原方程可化為 7x-8y+2z＝5． 令7x-8y=t，t＋2z=5．易見x=7t，y=6t是7x-8y=t的一組整數(shù)解．所以它的全部整數(shù)解是 而t=1，z=2是t＋2z=5的一組整數(shù)解．它的全部整數(shù)解是 把t的表達(dá)式代到x，y的表達(dá)式中，得到原方程的全部整數(shù)解是

25．(1)第一個(gè)位置有8種選擇方法，第二個(gè)位置只有7種選擇方法，…，由乘法原理，男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320 種不同排列．又兩列間有一相對(duì)位置關(guān)系，所以共有2×403202種不同情況． (2)逐個(gè)考慮結(jié)對(duì)問(wèn)題． 與男甲結(jié)對(duì)有8種可能情況，與男乙結(jié)對(duì)有7種不同情況，…，且兩列可對(duì)換，所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 種不同情況．

26．萬(wàn)位是5的有4×3×2×1=24(個(gè))． 萬(wàn)位是4的有 4×3×2×1=24(個(gè))． 萬(wàn)位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6個(gè)，千位是4的有如下4個(gè)： 34215，34251，34512，34521． 所以，總共有 24+24＋6+4＝58 個(gè)數(shù)大于34152．

27．兩車錯(cuò)過(guò)所走過(guò)的距離為兩車長(zhǎng)之總和，即 92＋84=176(米)． 設(shè)甲火車速度為x米/秒，乙火車速度為y米/秒．兩車相向而行時(shí)的速度為x+y；兩車同向而行時(shí)的速度為x-y，依題意有 解之得 解之得x=9(天)，x＋3=12(天)． 解之得x=16(海里/小時(shí))． 經(jīng)檢驗(yàn)，x=16海里/小時(shí)為所求之原速．

30．設(shè)甲乙兩車間去年計(jì)劃完成稅利分別為x萬(wàn)元和y萬(wàn)元．依題意得 解之得 故甲車間超額完成稅利 乙車間超額完成稅利 所以甲共完成稅利400+60=460(萬(wàn)元)，乙共完成稅利350+35=385(萬(wàn)元)．

31．設(shè)甲乙兩種商品的原單價(jià)分別為x元和y元，依題意可得 由②有 0.9x+1.2y=148.5， ③ 由①得x=150-y，代入③有 0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5， 解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．

32．設(shè)去年每把牙刷x元，依題意得 2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4， 即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6， 即 2.4x=2×1.68， 所以 x=1.4(元)． 若y為去年每支牙膏價(jià)格，則y=1.4＋1=2.4(元)．

33．原來(lái)可獲利潤(rùn)4×400=1600元．設(shè)每件減價(jià)x元，則每件仍可獲利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于減價(jià)后，每天可賣出(400+200x)件，若設(shè)每天獲利y元，則 y＝(4-x)(400+200x) ＝200(4-x)(2+x) =200(8＋2x-x2) =-200(x2-2x+1)＋200+1600 =-200(x-1)2+1800． 所以當(dāng)x=1時(shí)，y最大=1800(元)．即每件減價(jià)1元時(shí)，獲利最大，為1800元，此時(shí)比原來(lái)多賣出200件，因此多獲利200元．

34．設(shè)乙用x分鐘追上甲，則甲到被追上的地點(diǎn)應(yīng)走了(25+x)分鐘，所以甲乙兩人走的路程分別是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因?yàn)閮扇俗叩穆烦滔嗟?，所? 0.4(25+x)=0.6x， 解之得x=50分鐘．于是 左邊=0.4(25＋50)=30(千米)， 右邊= 0.6×50=30(千米)， 即乙用50分鐘走了30千米才能追上甲．但a，b兩鎮(zhèn)之間只有28千米．因此，到b鎮(zhèn)為止，乙追不上甲．

35．

(1)設(shè)新合金中，含第一種合金x克(g)，第二種合金y克，第三種合金z克，則依題意有

(2)當(dāng)x=0時(shí)，大500克．

(3)新合金中，含錳重量為： x?40％＋y?10％+z?50％=400-0.3x， y=250，此時(shí)，y為最??；當(dāng)z=0時(shí)，y=500為最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二種合金重量y的范圍是：最小250克，最 而0≤x≤500，所以新合金中錳的重量范圍是：最小250克，最大400克．

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